Calcular
das seguintes funções definidas implicitamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que define
de forma implícita:
Aqui, estamos lidando com derivadas implícitas, que é um método de cálculo usado quando
não está isolada em função de
. Para resolver isso, vamos precisar saber como diferenciar expressões como
, que envolve funções compostas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
(
), então quando derivamos termos com
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Vamos diferenciar cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a usa a regra do produto: . - Derivada de
é mais complicada. Primeiro, reescrevemos como para facilitar a diferenciação. Então, a derivada é:
Passo 3
Agora, colocando todas as derivadas na equação:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 4
Vamos reunir os termos que contêm
:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 5
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
da função definida implicitamente é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas
Encontre os números críticos da função.
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(b) Determine o vetor velocidade, vetor aceleração e velocidade escalar da partícula no instante de tempo
.
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(a) Descreva e faça um esboço da trajetória da partícula (represente por setas o sentido de percurso da partícula).