Calcular das seguintes funções definidas implicitamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que define de forma implícita:
Aqui, estamos lidando com derivadas implícitas, que é um método de cálculo usado quando não está isolada em função de . Para resolver isso, vamos precisar saber como diferenciar expressões como , que envolve funções compostas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de ( ), então quando derivamos termos com , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Vamos diferenciar cada termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a usa a regra do produto: .
  3. Derivada de é mais complicada. Primeiro, reescrevemos como para facilitar a diferenciação. Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, colocando todas as derivadas na equação:
Nosso objetivo é isolar .

Passo 4

Vamos reunir os termos que contêm :
Fatorando no lado esquerdo:

Passo 5

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada da função definida implicitamente é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas
Encontre os números críticos da função.
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante (em segundos) é
ã
(b) Determine o vetor velocidade, vetor aceleração e velocidade escalar da partícula no instante de tempo .
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante (em segundos) é
ã
(a) Descreva e faça um esboço da trajetória da partícula (represente por setas o sentido de percurso da partícula).