Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante (em segundos) é
ã
(a) Descreva e faça um esboço da trajetória da partícula (represente por setas o sentido de percurso da partícula).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a posição de uma partícula no tempo é dada por:
Estamos trabalhando com vetores de posição no espaço tridimensional. Para descrever a trajetória da partícula, precisamos entender como as componentes , e se comportam conforme o tempo varia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da posição:
Isso significa que, à medida que o tempo aumenta, a partícula se move ao longo do eixo e , mas permanece fixa no eixo (sempre ).

Passo 3

Como o valor de é sempre 1, a partícula se move em um plano paralelo ao plano , especificamente no plano . Assim, podemos focar na movimentação no plano .

Passo 4

No plano , temos as equações:
Podemos eliminar o parâmetro para obter a equação da trajetória em termos de e . Já que , substituímos por na equação de :

Passo 5

A equação representa uma parábola no plano que abre para cima e está deslocada 1 unidade para cima em relação à parábola padrão .

Passo 6

Agora, para visualizar a trajetória:
  • A parábola está no plano .
  • Conforme aumenta de 0 para mais, aumenta linearmente e aumenta quadraticamente.
  • Isso significa que a partícula começa no ponto e se move para a direita ao longo da parábola, com crescendo mais rapidamente conforme aumenta.

Passo 7

Para fazer o esboço:
  1. Desenhe o sistema de coordenadas tridimensionais.
  2. Identifique o plano .
  3. No plano , desenhe a parábola .
  4. Indique a direção do movimento com setas, começando em (ponto ) e seguindo para a direita conforme aumenta.

Resposta

A trajetória da partícula é uma parábola no plano , dada por . No esboço, a partícula inicia em e se move para a direita ao longo da parábola, com a direção indicada por setas seguindo o aumento de .

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Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante (em segundos) é
ã
(b) Determine o vetor velocidade, vetor aceleração e velocidade escalar da partícula no instante de tempo .
Calcular das seguintes funções definidas implicitamente.
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante (em segundos) é
ã
(d) Determine o instante de tempo no qual a partícula atinge a velocidade escalar de .
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