Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(a) Descreva e faça um esboço da trajetória da partícula (represente por setas o sentido de percurso da partícula).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a posição de uma partícula no tempo
é dada por:
Estamos trabalhando com vetores de posição no espaço tridimensional. Para descrever a trajetória da partícula, precisamos entender como as componentes
,
e
se comportam conforme o tempo
varia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da posição:
Isso significa que, à medida que o tempo
aumenta, a partícula se move ao longo do eixo
e
, mas permanece fixa no eixo
(sempre
).
Passo 3
Como o valor de
é sempre 1, a partícula se move em um plano paralelo ao plano
, especificamente no plano
. Assim, podemos focar na movimentação no plano
.
Passo 4
No plano
, temos as equações:
Podemos eliminar o parâmetro
para obter a equação da trajetória em termos de
e
. Já que
, substituímos
por
na equação de
:
Passo 5
A equação
representa uma parábola no plano
que abre para cima e está deslocada 1 unidade para cima em relação à parábola padrão
.
Passo 6
Agora, para visualizar a trajetória:
- A parábola está no plano
. - Conforme
aumenta de 0 para mais, aumenta linearmente e aumenta quadraticamente. - Isso significa que a partícula começa no ponto
e se move para a direita ao longo da parábola, com crescendo mais rapidamente conforme aumenta.
Passo 7
Para fazer o esboço:
- Desenhe o sistema de coordenadas tridimensionais.
- Identifique o plano
. - No plano
, desenhe a parábola . - Indique a direção do movimento com setas, começando em
(ponto ) e seguindo para a direita conforme aumenta.
Resposta
A trajetória da partícula é uma parábola no plano
, dada por
. No esboço, a partícula inicia em
e se move para a direita ao longo da parábola, com a direção indicada por setas seguindo o aumento de
.
Exercícios relacionados
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(b) Determine o vetor velocidade, vetor aceleração e velocidade escalar da partícula no instante de tempo
.
Calcular
das seguintes funções definidas implicitamente.
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(d) Determine o instante de tempo
no qual a partícula atinge a velocidade escalar de
.
Determine se o campo vetorial tridimensional
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.