Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante t (em segundos) é
r(t) = t * i + (t^2 + 1) * j + k, 0 <= t < infinito (todas as componentes estão em metros)ã
(b) Determine o vetor velocidade, vetor aceleração e velocidade escalar da partícula no instante de tempo t = 2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula no espaço em função do tempo , usando vetores. Nosso objetivo é achar três coisas no instante de segundos:
  1. O vetor velocidade da partícula.
  2. O vetor aceleração da partícula.
  3. A velocidade escalar da partícula.
Pra resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, já que velocidade é a derivada da posição e aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da partícula. Ela é dada por:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. Isso significa que a posição da partícula depende de de uma forma específica em cada direção.

Passo 3

Para encontrar o vetor velocidade, precisamos derivar a posição em relação ao tempo . A derivada nos dá a velocidade instantânea da partícula.
Vamos derivar cada componente:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que é constante.
Então,

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor aceleração, derivamos o vetor velocidade em relação ao tempo . A aceleração nos diz como a velocidade está mudando.
Derivando cada componente de :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • Não há componente em , então continua .
Portanto,

Passo 5

Para achar a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade, usamos a fórmula do módulo do vetor:
Do vetor velocidade que encontramos:
As componentes são:
Então,

Resposta

No instante de tempo segundos:
  • Vetor velocidade:
  • Vetor aceleração:
  • Velocidade escalar:

Exercícios relacionados