Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(b) Determine o vetor velocidade, vetor aceleração e velocidade escalar da partícula no instante de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula no espaço em função do tempo
, usando vetores. Nosso objetivo é achar três coisas no instante de
segundos:
- O vetor velocidade da partícula.
- O vetor aceleração da partícula.
- A velocidade escalar da partícula.
Pra resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, já que velocidade é a derivada da posição e aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição da partícula. Ela é dada por:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. Isso significa que a posição da partícula depende de
de uma forma específica em cada direção.
Passo 3
Para encontrar o vetor velocidade, precisamos derivar a posição
em relação ao tempo
. A derivada nos dá a velocidade instantânea da partícula.
Vamos derivar cada componente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que é constante.
Então,
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor aceleração, derivamos o vetor velocidade
em relação ao tempo
. A aceleração nos diz como a velocidade está mudando.
Derivando cada componente de
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - Não há componente em
, então continua .
Portanto,
Passo 5
Para achar a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade, usamos a fórmula do módulo do vetor:
Do vetor velocidade que encontramos:
As componentes são:
Então,
Resposta
No instante de tempo
segundos:
- Vetor velocidade:
- Vetor aceleração:
- Velocidade escalar:
Exercícios relacionados
Calcular
das seguintes funções definidas implicitamente.
Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(a) Descreva e faça um esboço da trajetória da partícula (represente por setas o sentido de percurso da partícula).
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(d) Determine o instante de tempo
no qual a partícula atinge a velocidade escalar de
.