Calcular o produto misto [u, v, w] onde u=(1,2,-2), v=(2,1,4), w=(2,-1,3)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular o produto misto de três vetores: u = (1, 2, -2), v = (2, 1, 4) e w = (2, -1, 3). O conteúdo que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente o cálculo de determinantes para encontrar o produto misto. Para isso, vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores u, v e w, denotado por [u, v, w], é igual ao determinante da matriz formada por esses vetores. Ou seja:
[u, v, w] = u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3
Esse determinante nos dá uma medida do volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores fornecidos:
1 & 2 & 2 2 & 1 & -1 -2 & 4 & 3
Aqui, cada coluna representa um dos vetores u, v e w.

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Uma maneira de fazer isso é usando a regra de Sarrus ou a regra de cofatores. Vamos usar a regra de cofatores neste caso.
O determinante é calculado da seguinte forma:
Det &= u1 cdot v2 & w2 v3 & w3 - v1 cdot u2 & w2 u3 & w3 + w1 cdot u2 & v2 u3 & v3 &= 1 cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot 4) - 2 cdot (2 cdot 3 - (-1) cdot (-2)) + 2 cdot (2 cdot 4 - 1 cdot (-2)) &= 1 cdot (3 + 4) - 2 cdot (6 - 2) + 2 cdot (8 + 2) &= 1 cdot 7 - 2 cdot 4 + 2 cdot 10 &= 7 - 8 + 20 &= 19

Resposta

O produto misto [u, v, w] é igual a 19.

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