Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação da cônica:
A tarefa é simplificar essa equação usando uma rotação e uma translação dos eixos coordenados para que ela fique na forma mais simples possível. Basicamente, vamos transformar essa equação complicada em uma forma mais fácil de entender, tipo uma parábola, elipse ou hipérbole padrão. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de rotação de eixos e talvez uma translação para eliminar termos lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com o termo
, que indica que os eixos estão rotacionados em relação ao sistema original. Nosso objetivo aqui é encontrar um ângulo de rotação que elimine esse termo. A fórmula para o ângulo
que realiza isso é:
Onde na nossa equação
,
e
. Vamos calcular:
Então,
. Para encontrar
, dividimos por 2:
Isso nos dá o ângulo de rotação necess��rio para eliminar o termo
.
Passo 3
Agora, vamos usar esse ângulo
para fazer a rotação dos eixos. As fórmulas de rotação são:
Substituindo essas expressões na nossa equação original, vamos reescrever a equação em termos de
e
, os novos eixos rotacionados.
Passo 4
Após substituir
e
pelas expressões rotacionadas, expandimos e simplificamos a equação. O objetivo aqui é que o termo
desapareça, o que confirma que eliminamos o termo cruzado graças à rotação.
Depois dos cálculos, a equação simplificada ficará na forma:
Onde
,
,
e
são coeficientes resultantes após a substituição e simplificação.
Passo 5
Agora, vamos lidar com os termos lineares
. Para simplificar ainda mais a equação, podemos realizar uma translação dos eixos, deslocando-os de modo que os termos lineares desapareçam. Isso envolve encontrar o centro da cônica e ajustar as coordenadas
e
para
e
.
As fórmulas de translação são:
Onde
e
são os deslocamentos necessários para eliminar os termos lineares.
Passo 6
Depois de realizar a translação, a equação da cônica fica ainda mais simplificada, geralmente na forma padrão de uma elipse, hipérbole ou parábola. Por exemplo, se for uma elipse, a equação final pode ser:
Onde
e
são os comprimentos dos eixos principais.
Resposta
Após realizar a rotação e a translação dos eixos, a equação simplificada da cônica é:
Isso representa uma elipse centrada na origem do novo sistema de coordenadas
.