Exercícios verdadeiro/falso

Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(b) Se v for um vetor não nulo em V, então existe exatamente uma transformação linear T: V W tal que T(-v)=-T(v).

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: Se v for um vetor não nulo em V, então existe exatamente uma transformação linear T: V W tal que T(-v) = -T(v).
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares entre espaços vetoriais V e W. Precisamos verificar se, para um vetor v não nulo, existe apenas uma transformação linear que satisfaz a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função T: V W que respeita duas propriedades:
  1. Adição: T(u + w) = T(u) + T(w) para todos os vetores u, w in V.
  2. Multiplicação por escalar: T(cv) = cT(v) para todo escalar c e vetor v in V.

Passo 3

A condição que temos é T(-v) = -T(v). Vamos ver se isso sempre acontece para transformações lineares. Usando a propriedade de multiplicação por escalar:
T(-v) = T((-1)v) = (-1)T(v) = -T(v)
Portanto, qualquer transformação linear já satisfaz essa condi��ão automaticamente.

Passo 4

A afirmação diz que existe exatamente uma transformação linear que satisfaz essa condição. Porém, vimos que todas as transformações lineares já satisfazem T(-v) = -T(v). Isso significa que não é uma condição que determina uma única transformação, mas sim que é válida para muitas transformações.

Passo 5

Portanto, a afirmação está dizendo que somente uma transformação linear cumpre essa condição, o que não é verdade, já que infinitas transformações lineares a satisfazem.

Resposta

Falsa. Há muitas transformações lineares que satisfazem T(-v) = -T(v), não apenas uma.

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