Exercícios verdadeiro/falso
Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(b) Se
for um vetor não nulo em
, então existe exatamente uma transformação linear
tal que
.
(b) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: Se
for um vetor não nulo em
, então existe exatamente uma transformação linear
tal que
.
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares entre espaços vetoriais e
. Precisamos verificar se, para um vetor
não nulo, existe apenas uma transformação linear que satisfaz a condição dada.
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares entre espaços vetoriais
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função
que respeita duas propriedades:
- Adição:
para todos os vetores . - Multiplicação por escalar:
para todo escalar e vetor .
Passo 3
A condição que temos é
. Vamos ver se isso sempre acontece para transformações lineares. Usando a propriedade de multiplicação por escalar:
Portanto, qualquer transformação linear já satisfaz essa condi��ão automaticamente.
Passo 4
A afirmação diz que existe exatamente uma transformação linear que satisfaz essa condição. Porém, vimos que todas as transformações lineares já satisfazem
. Isso significa que não é uma condição que determina uma única transformação, mas sim que é válida para muitas transformações.
Passo 5
Portanto, a afirmação está dizendo que somente uma transformação linear cumpre essa condição, o que não é verdade, já que infinitas transformações lineares a satisfazem.
Resposta
Falsa. Há muitas transformações lineares que satisfazem
, não apenas uma.