Calcular o produto misto dos vetores
u=i+j+3 k v=2 i-j+5 k w=4 i-3 j+k
R: 26

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular o produto misto de três vetores: , e . O produto misto é uma operação da álgebra vetorial que nos dá um número e ajuda a entender o volume do paralelepípedo formado pelos vetores. Para resolver isso, vamos usar o determinante de uma matriz formada pelos componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto misto. Ele é definido como o determinante de uma matriz 3x3 cujas colunas são os componentes dos vetores u cdot (v times w) = 1 & 2 & 4 1 & -1 & -3 3 & 5 & 1 , e . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos calcular esse determinante. A forma mais fácil é usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
1 & 2 & 4 1 & -1 & -3 3 & 5 & 1 = 1 cdot (-1) cdot 1 + 2 cdot (-3) cdot 3 + 4 cdot 1 cdot 5 - 4 cdot (-1) cdot 3 - 2 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot (-3) cdot 5

Passo 4

Vamos resolver cada termo passo a passo:
1 cdot (-1) cdot 1 = -1
2 cdot (-3) cdot 3 = -18
4 cdot 1 cdot 5 = 20
4 cdot (-1) cdot 3 = -12
2 cdot 1 cdot 1 = 2
1 cdot (-3) cdot 5 = -15
Agora, somando tudo:
-1 - 18 + 20 - (-12) - 2 - (-15) = -19 + 20 + 12 - 2 + 15 = 26

Resposta

26

Exercícios relacionados

Calcular o módulo dos segúintes vetores:
w=(-5,0)
Calcular o módulo dos segúintes vetores:
v=(-2,1)
Dados u=(3,7) e v=(1,-4), calcular
|u+v|
Dados A=(2,1,5) e B=(4,3,1), determinar ad coordenadas do ponto médio do segmento AB
R: PM=(3,2,3)