Calcular o produto misto dos vetores u=2 i+3 j+5 k, v=-i+3 j+3 k e
w=4 i-3 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto misto dos vetores u = 2 i + 3 j + 5 k, v = -i + 3 j + 3 k e w = 4 i - 3 j. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e o produto vetorial. Vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores e depois fazer o produto escalar desse resultado com o terceiro vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores a e b, denotado por a times b, resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais. Para calcular v times w, vamos montar um determinante:
v times w = i & j & k -1 & 3 & 3 4 & -3 & 0

Passo 3

Agora, vamos calcular esse determinante passo a passo:
v times w = i cdot (3 cdot 0 - 3 cdot (-3)) - j cdot (-1 cdot 0 - 3 cdot 4) + k cdot (-1 cdot (-3) - 3 cdot 4)
Simplificando cada termo:
= i cdot (0 + 9) - j cdot (0 - 12) + k cdot (3 - 12)
= 9i + 12j - 9k
Então, v times w = 9i + 12j - 9k.

Passo 4

Agora que temos o produto vetorial v times w, vamos calcular o produto escalar desse resultado com o vetor u. O produto escalar entre dois vetores a e b, denotado por a cdot b, é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Aplicando isso:
u cdot (v times w) = (2)(9) + (3)(12) + (5)(-9)

Passo 5

Vamos fazer as multiplicações:
= 18 + 36 - 45
= 54 - 45
= 9

Resposta

O produto misto dos vetores é 9.

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