Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
c) x^2+y^2-8 x+6 y+21=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação e a gente precisa transformar essa equação na forma padrão de uma circunferência. A matéria que vamos usar é sobre círculos e a técnica de completar o quadrado para reorganizar a equação. Isso vai nos ajudar a descobrir se essa equação realmente representa uma circunferência e, se sim, qual é o centro e o raio dela.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x^2 - 8x + y^2 + 6y = -21 e os termos de separados. Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (-82)^2 = (-4)^2 = 16 . Para isso, pegamos o coeficiente de x^2 - 8x + 16 - 16 + y^2 + 6y = -21 , que é (x - 4)^2 - 16 + y^2 + 6y = -21 , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos esse 16 e subtraímos 16 na equação para manter o equilíbrio:
Isso nos permite escrever os termos de como um quadrado perfeito:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para os termos de (62)^2 = 3^2 = 9 . Pegamos o coeficiente de (x - 4)^2 - 16 + y^2 + 6y + 9 - 9 = -21 , que é (x - 4)^2 - 16 + (y + 3)^2 - 9 = -21 , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse 9 na equação:
Isso permite escrever os termos de como um quadrado perfeito:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
(x - 4)^2 + (y + 3)^2 - 25 = -21
Somando 25 dos dois lados:
(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 4
Essa é a forma padrão da equação de uma circunferência, que é .

Resposta

Sim, a equação representa uma circunferência com centro em e raio igual a .

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