Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
f) 3 x^2+3 y^2-6 x+30 y-50=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar a equação na forma padrão de uma circunferência. Isso significa que precisamos reorganizar essa equação para a forma , onde é o centro e é o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3. Isso vai facilitar os cálculos depois.
3x^2 + 3y^2 - 6x + 30y -503 = 0 implies x^2 + y^2 - 2x + 10y - 503 = 0

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos de x^2 - 2x + y^2 + 10y = 503 e separadamente:
O próximo passo é completar o quadrado para os termos de e .

Passo 4

Para completar o quadrado em x^2 - 2x + 1 - 1 + y^2 + 10y = 503 :
  1. Pegue o coeficiente de (x - 1)^2 - 1 + y^2 + 10y = 503 , que é , divida por 2 e eleve ao quadrado: .
  2. Adicione e subtraia 1 dentro da equação:
  1. Isso fica:

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado para (x - 1)^2 - 1 + y^2 + 10y + 25 - 25 = 503 :
  1. Pegue o coeficiente de (x - 1)^2 - 1 + (y + 5)^2 - 25 = 503 , que é , divida por 2 e eleve ao quadrado: .
  2. Adicione e subtraia 25 dentro da equação:
  1. Isso fica:

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos constantes:
(x - 1)^2 + (y + 5)^2 - 26 = 503
Adicione 26 a ambos os lados para isolar os quadrados:
(x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 503 + 26
(x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 503 + 783 = 1283

Resposta

A equação reduzida está na forma padrão de uma circunferência: . Portanto, é uma circunferência com centro em e raio .

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