A medida angular entre os vetores a e b é 60^circ, e suas normas são, respectivamente, 1 e 2 . Sendo u=a+b e v=a-b, calcule a norma de u times v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , que formam um ângulo de entre si. As normas (ou magnitudes) desses vetores são 1 e 2, respectivamente. A gente precisa calcular a norma do produto vetorial de e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) e tem magnitude dada por:
onde é o ângulo entre e .

Passo 3

Antes de tudo, precisamos encontrar os vetores u = a + b e v = a - b :
Vamos calcular as normas desses vetores usando a fórmula da norma de um vetor soma e diferença.

Passo 4

A norma de |u| = |a + b| = raiz|a|^2 + |b|^2 + 2 cdot |a| cdot |b| cdot cos(alpha) é:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + 2 cdot 1 cdot 2 cdot cos(60^circ) = raiz1 + 4 + 4 cdot 0,5 = raiz1 + 4 + 2 = raiz7
onde é o ângulo entre e , que é . Substituindo os valores:

Passo 5

Da mesma forma, a norma de |v| = |a - b| = raiz|a|^2 + |b|^2 - 2 cdot |a| cdot |b| cdot cos(alpha) é:
|v| = raiz1^2 + 2^2 - 2 cdot 1 cdot 2 cdot cos(60^circ) = raiz1 + 4 - 4 cdot 0,5 = raiz1 + 4 - 2 = raiz3
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o ângulo entre u = a + b e v = a - b . Observando as definições:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
u cdot v = (a + b) cdot (a - b) = a cdot a - a cdot b + b cdot a - b cdot b
Podemos usar o produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo entre u cdot v = 1 - 1 + 1 - 4 = -3 e -3 = raiz7 cdot raiz3 cdot cos(theta) Rightarrow cos(theta) = -3raiz21 Rightarrow theta = arccos( -3raiz21 ) :
Calculando o produto escalar:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 7

Agora que temos |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) , sin(theta) = raiz1 - cos^2(theta) = raiz1 - ( -3raiz21 )^2 = raiz1 - 921 = raiz1221 = raiz47 = 2raiz7 e |u times v| = raiz7 cdot raiz3 cdot 2raiz7 = raiz3 cdot 2 = 2raiz3 , podemos calcular a norma do produto vetorial:
Mas sabemos que:
Então:

Resposta

A norma de é .

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