A medida angular entre os vetores e é , e suas normas são, respectivamente, 1 e 2 . Sendo e , calcule a norma de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , que formam um ângulo de entre si. As normas (ou magnitudes) desses vetores são 1 e 2, respectivamente. A gente precisa calcular a norma do produto vetorial de e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores e tem magnitude dada por:
onde é o ângulo entre e .

Passo 3

Antes de tudo, precisamos encontrar os vetores e :
Vamos calcular as normas desses vetores usando a fórmula da norma de um vetor soma e diferença.

Passo 4

A norma de é:
onde é o ângulo entre e , que é . Substituindo os valores:

Passo 5

Da mesma forma, a norma de é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o ângulo entre e . Observando as definições:
Podemos usar o produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo entre e :
Calculando o produto escalar:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 7

Agora que temos , e , podemos calcular a norma do produto vetorial:
Mas sabemos que:
Então:

Resposta

A norma de é .

Exercícios relacionados

Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
d)
Dados os vetores e , determine
Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
c)
Calcular o produto misto dos vetores e