O vetor w tem módulo 7 , forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas e é ortogonal aos vetores u=i+2 j e v=i+4 j+3 k. Pede-se w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor que tem módulo 7, forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas (eixo ) e é ortogonal aos vetores e . A gente precisa encontrar esse vetor . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, como w cdot u = 0 e w cdot v = 0 é ortogonal a w = k cdot (u times v) e , isso significa que o produto escalar de com e com é zero:
Mas uma forma mais fácil de encontrar um vetor que é ortogonal a dois vetores dados e é calcular o produto vetorial de e :
onde é um escalar que vamos determinar.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u = 1 2 0 , v = 1 4 3 :
u times v = i & j & k 1 & 2 & 0 1 & 4 & 3 = i(2 cdot 3 - 0 cdot 4) - j(1 cdot 3 - 0 cdot 1) + k(1 cdot 4 - 2 cdot 1)
u times v = 6i - 3j + 2k

Passo 4

Agora, queremos que o vetor | u times v | = raiz6^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7 tenha módulo 7. Primeiro, vamos calcular o módulo de :
Então, já que o módulo é 7, podemos tomar ou . Mas precisamos que forme um ângulo agudo com o eixo , ou seja, a componente de deve ser positiva.

Passo 5

Escolhemos w = 6i - 3j + 2k , então:
Como a componente é positiva, o ângulo com o eixo é agudo, conforme solicitado.

Resposta

O vetor w = 6i - 3j + 2k é:

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