O vetor tem módulo 7 , forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas e é ortogonal aos vetores . Pede-se w.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor que tem módulo 7, forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas (eixo ) e é ortogonal aos vetores e . A gente precisa encontrar esse vetor . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, como é ortogonal a e , isso significa que o produto escalar de com e com é zero:
Mas uma forma mais fácil de encontrar um vetor que é ortogonal a dois vetores dados e é calcular o produto vetorial de e :
onde é um escalar que vamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial :
Passo 4
Agora, queremos que o vetor tenha módulo 7. Primeiro, vamos calcular o módulo de :
Então, já que o módulo é 7, podemos tomar ou . Mas precisamos que forme um ângulo agudo com o eixo , ou seja, a componente de deve ser positiva.
Passo 5
Escolhemos , então:
Como a componente é positiva, o ângulo com o eixo é agudo, conforme solicitado.