Calcular as seguintes integrais impróprias e classifique-as:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver essa integral imprópria que é:
O assunto aqui é integrais impróprias, que são aquelas em que a função integrada tem um comportamento estranho (como infinito) em algum ponto do intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender limites e como lidar com integrais que têm pontos onde a função “explode”.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função:
Perceba que quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0, o que faz com que a função “exploda” para o infinito. Por isso, a integral é imprópria no limite superior .
Passo 3
Para resolver, vamos reescrever a integral substituindo o limite superior por um valor que se aproxima de 1:
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou . Quando , e quando , .
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar , que é igual a . A antiderivada disso é:
Aplicando os limites:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite quando se aproxima de 1:
Resposta
A integral imprópria converge e seu valor é igual a 2.