Calcular as seguintes integrais impróprias e classifique-as:

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver essa integral imprópria que é:
O assunto aqui é integrais impróprias, que são aquelas em que a função integrada tem um comportamento estranho (como infinito) em algum ponto do intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender limites e como lidar com integrais que têm pontos onde a função “explode”.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função:
Perceba que quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0, o que faz com que a função “exploda” para o infinito. Por isso, a integral é imprópria no limite superior .

Passo 3

Para resolver, vamos reescrever a integral substituindo o limite superior por um valor que se aproxima de 1:
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou . Quando , e quando , .
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar , que é igual a . A antiderivada disso é:
Aplicando os limites:

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando se aproxima de 1:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é igual a 2.

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