Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente com uma integral que envolve uma função racional sobre uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável. Observamos que o numerador é o derivado da expressão dentro da raiz . Isso é uma dica de que podemos usar a substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Note que é exatamente o numerador da nossa integral!

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Isso simplifica nossa integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

A integral é uma integral padrão. Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta pela expressão original , temos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais: