Calcular as seguintes integrais: integral 1+4 zraiz1+z+2 z^2 d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente com uma integral que envolve uma função racional sobre uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável. Observamos que o numerador é o derivado da expressão dentro da raiz . Isso é uma dica de que podemos usar a substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dudz = 1 + 4z implies du = (1 + 4z) , dz . Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Note que é exatamente o numerador da nossa integral!

Passo 4

Agora, substituímos integral 1+4 zraiz1+z+2 z^2 , dz = integral duraizu e na integral original:
Isso simplifica nossa integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

A integral integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C é uma integral padrão. Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo 2raizu + C = 2raiz1 + z + 2z^2 + C de volta pela expressão original , temos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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