Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração de funções que envolvem trigonometria e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Nesse caso, vamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e . Olhando para , uma boa escolha é:
, porque derivar isso vai simplificar a expressão.
, que podemos integrar facilmente.
Passo 3
Agora, vamos calcular e :
Primeiro, derivamos :
Em seguida, integramos :
Mas como estamos lidando com integrais definidas, podemos ignorar a constante .
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo = ln (cos x) cdot (-ln cos x) g|0^pi4 - integral0^pi4 (-ln cos x) cdot (-tan x) , dx , = - [ln (cos x)]^2 g|0^pi4 - integral0^pi4 ln cos x cdot tan x , dx , e :
Simplificando:
Perceba que acabamos de voltar para a integral original, o que sugere que precisamos de outra abordagem.
Passo 5
Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir:
t = cos x implies dt = -sin x , dx
Sabemos que integral tan x ln (cos x) , dx = integral sin xcos x ln (cos x) , dx = -integral ln tt , dt , então podemos reescrever a integral:
Aqui, substituímos por e ajustamos os limites de integração: