Calcular as seguintes integrais: integral0^pi4 tg x ln (cos x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração de funções que envolvem trigonometria e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, vamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e . Olhando para , uma boa escolha é:
  • , porque derivar isso vai simplificar a expressão.
  • , que podemos integrar facilmente.

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx [ln (cos x)] , dx = -sin xcos x , dx = -tan x , dx e v = integral tan x , dx = -ln |cos x| + C :
Primeiro, derivamos :
Em seguida, integramos :
Mas como estamos lidando com integrais definidas, podemos ignorar a constante .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral0^pi4 tan x ln (cos x) , dx = uv g|0^pi4 - integral0^pi4 v , du
Substituindo = ln (cos x) cdot (-ln cos x) g|0^pi4 - integral0^pi4 (-ln cos x) cdot (-tan x) , dx , = - [ln (cos x)]^2 g|0^pi4 - integral0^pi4 ln cos x cdot tan x , dx , e :
Simplificando:
Perceba que acabamos de voltar para a integral original, o que sugere que precisamos de outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir:
t = cos x implies dt = -sin x , dx
Sabemos que integral tan x ln (cos x) , dx = integral sin xcos x ln (cos x) , dx = -integral ln tt , dt , então podemos reescrever a integral:
Aqui, substituímos por e ajustamos os limites de integração:
Quando , .
Quando , .

Passo 6

Agora, a integral fica:
- integral1^raiz22 ln tt , dt
Esta é uma integral mais simples. Vamos resolver:
- integral ln tt , dt
Sabemos que a integral de 12 (ln t)^2 + C é:
- [ 12 (ln t)^2 ]1^raiz22
Portanto:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração:
- ( 12 (ln raiz22)^2 - 12 (ln 1)^2 )
Sabemos que - ( 12 (ln raiz22)^2 - 0 ) = - 12 (ln raiz22)^2 , então:
ln raiz22 = ln 2^-1/2 = -12 ln 2
Simplificando - 12 ( -12 ln 2 )^2 = - 12 ( 14 (ln 2)^2 ) = - 18 (ln 2)^2 :
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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