Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração de funções que envolvem trigonometria e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Nesse caso, vamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e . Olhando para , uma boa escolha é:
  • , porque derivar isso vai simplificar a expressão.
  • , que podemos integrar facilmente.

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
Primeiro, derivamos :
Em seguida, integramos :
Mas como estamos lidando com integrais definidas, podemos ignorar a constante .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , e :
Simplificando:
Perceba que acabamos de voltar para a integral original, o que sugere que precisamos de outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Sabemos que , então podemos reescrever a integral:
Aqui, substituímos por e ajustamos os limites de integração:
Quando , .
Quando , .

Passo 6

Agora, a integral fica:
Esta é uma integral mais simples. Vamos resolver:
Sabemos que a integral de é:
Portanto:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que , então:
Simplificando :
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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