Calcular as seguintes integrais: integral y cosec^2 y d y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. A gente precisa calcular a integral de . Para isso, vamos usar a técnica da integração por partes, que é bem útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher du = dy . Assim, ao derivar , temos:

Passo 4

Agora, o que sobra fica como dv = cosec^2 y , dy . Então:
Para encontrar v = integral cosec^2 y , dy , precisamos integrar v = -cot y :
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo integral y , cosec^2 y , dy = uv - integral v , du , = y cdot (-cot y) - integral (-cot y) cdot dy , = -y cot y + integral cot y , dy :

Passo 6

Vamos calcular a integral restante integral cot y , dy = ln|sin y| + C . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
-y cot y + ln|sin y| + C

Resposta

Exercícios relacionados