Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. A gente precisa calcular a integral de . Para isso, vamos usar a técnica da integração por partes, que é bem útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher . Assim, ao derivar , temos:

Passo 4

Agora, o que sobra fica como . Então:
Para encontrar , precisamos integrar :
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :

Passo 6

Vamos calcular a integral restante . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

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