Calcular as seguintes integrais: integral0^pi2 sen^3 x raizcos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas e potências de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^3 x = (1 - cos^2 x) sin x . Sabemos que integral0^pi2 (1 - cos^2 x) sin x raizcos x , dx . E como , podemos reescrever:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx . Então, a derivada de u = cos 0 = 1 em relação a u = cos pi2 = 0 é:
Precisamos também ajustar os limites de integração. Quando :
E quando :

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
integralu=1^u=0 (1 - u^2) raizu cdot (-du)
Vamos inverter os limites de integração para eliminar o sinal negativo:
integral0^1 (1 - u^2) raizu , du

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
(1 - u^2) raizu = raizu - u^2 raizu = u^1/2 - u^5/2
Então, a integral fica:
integral0^1 ( u^1/2 - u^5/2 ) , du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo. A integral de integral u^1/2 , du = u^3/23/2 = 23 u^3/2 é integral u^5/2 , du = u^7/27/2 = 27 u^7/2 . Aplicando isso:
23 u^3/2 - 27 u^7/2 gr|0^1
Portanto, a integral completa é:

Passo 7

Agora, vamos avaliar nos limites de 0 a 1:
Para 23 (1)^3/2 - 27 (1)^7/2 = 23 - 27 :
23 (0)^3/2 - 27 (0)^7/2 = 0 - 0 = 0
Para ( 23 - 27 ) - 0 = 23 - 27 :
Então, a diferença é:

Passo 8

Vamos calcular 23 = 1421, 27 = 621 . Para isso, vamos achar um denominador comum, que é 21:
1421 - 621 = 821
Então:

Resposta

A integral é igual a .

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