Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas e potências de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . E como , podemos reescrever:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Precisamos também ajustar os limites de integração. Quando :
E quando :

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
Vamos inverter os limites de integração para eliminar o sinal negativo:

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo. A integral de é . Aplicando isso:
Portanto, a integral completa é:

Passo 7

Agora, vamos avaliar nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, a diferença é:

Passo 8

Vamos calcular . Para isso, vamos achar um denominador comum, que é 21:
Então:

Resposta

A integral é igual a .

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