Calcular as seguintes integrais: integral sec x tg x raiz1+sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a integral integral sec x tg x raiz1+sec x , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas e radicais. Para resolver, vamos precisar usar substituição, que é uma técnica para simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Olha só, dentro da raiz tem 1 + sec x. Então, vamos definir uma nova variável para isso:
u = 1 + sec x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Vamos derivar:
dudx = ddx(1) + ddx(sec x) = 0 + sec x tg x = sec x tg x
Então,
du = sec x tg x , dx

Passo 4

Perfeito! Agora, substituímos u e du na integral original:
integral sec x tg x raiz1+sec x , dx = integral raizu , du

Passo 5

Essa nova integral é mais simples. Vamos resolver integral raizu , du. Lembre-se que raizu = u^1/2, e a integral de u^n é u^n+1n+1:
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original x substituindo u por 1 + sec x:
23 u^3/2 + C = 23 (1 + sec x)^3/2 + C

Resposta

A integral é igual a:
23 (1 + sec x)^3/2 + C

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