Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer nessa questão. Temos que calcular uma integral dupla sobre o retângulo . A função que vamos integrar é . Então, vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso!

Passo 2

Vamos começar escrevendo a integral dupla:
Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos focar na integral interna:
Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, derivando em relação a :

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Integrando :
Agora, vamos avaliar os limites de :

Passo 5

Agora, a integral dupla fica reduzida a uma integral em :
Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula:
Temos:
Agora, avaliamos entre 0 e :
Multiplicando pelo :

Resposta

A integral dupla vale .

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Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
(a) Calcule o volume do sólido limitado pela superfície e os planos e .
Calcule as integrais, para as regiões indicadas.
, onde é limitada por e .
Calcular as seguintes integrais:
.