Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
integral duplaD x^2 y cos (x y^2) d A, D=[0, pi2] times[0,2].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer nessa questão. Temos que calcular uma integral dupla sobre o retângulo . A função que vamos integrar é . Então, vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso!

Passo 2

Vamos começar escrevendo a integral dupla:
integral duplaD x^2 y cos(x y^2) , dA = integral0^pi2 integral0^2 x^2 y cos(x y^2) , dy , dx
Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos focar na integral interna:
integral0^2 x^2 y cos(x y^2) , dy
Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
u = x y^2
Então, derivando em relação a dudy = 2x y Rightarrow du = 2x y , dy Rightarrow y , dy = du2x :

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral0^2 x^2 y cos(x y^2) , dy = x^2 integral cos(u) cdot du2x = x2 integral cos(u) , du
Integrando x2 sin(u) + C = x2 sin(x y^2) + C :
x2 sin(x y^2) |0^2 = x2 sin(4x) - x2 sin(0) = x2 sin(4x)
Agora, vamos avaliar os limites de :

Passo 5

Agora, a integral dupla fica reduzida a uma integral em integral0^pi2 x2 sin(4x) , dx = 12 integral0^pi2 x sin(4x) , dx :
u = x Rightarrow du = dx
Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Seja:
dv = sin(4x) , dx Rightarrow v = -cos(4x)4
integral u , dv = uv - integral v , du
Aplicando a fórmula:
integral x sin(4x) , dx = -x cos(4x)4 + 14 integral cos(4x) , dx = -x cos(4x)4 + sin(4x)16 + C
Temos:
[ -x cos(4x)4 + sin(4x)16 ]0^pi2 = ( -pi2 cos(2pi)4 + sin(2pi)16 ) - ( 0 + 0 ) = -pi8
Agora, avaliamos entre 0 e 12 ( -pi8 ) = -pi16 :
Multiplicando pelo :

Resposta

A integral dupla vale .

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