Calcular as seguintes integrais no retângulo dado. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer nessa questão. Temos que calcular uma integral dupla sobre o retângulo . A função que vamos integrar é . Então, vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso!
Passo 2
Vamos começar escrevendo a integral dupla:
Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
Vamos focar na integral interna:
Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, derivando em relação a :
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Integrando :
Agora, vamos avaliar os limites de :
Passo 5
Agora, a integral dupla fica reduzida a uma integral em integral0^pi2 x2 sin(4x) , dx = 12 integral0^pi2 x sin(4x) , dx :
u = x Rightarrow du = dx
Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Seja:
dv = sin(4x) , dx Rightarrow v = -cos(4x)4
integral u , dv = uv - integral v , du
Aplicando a fórmula:
integral x sin(4x) , dx = -x cos(4x)4 + 14 integral cos(4x) , dx = -x cos(4x)4 + sin(4x)16 + C