Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar substituição e conhecimentos básicos de integração de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso porque o argumento da função cosseno é , e trabalhar com pode facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:

Passo 4

Substituímos na integral original pela expressão que encontramos:
Mas como , podemos expressar em termos de :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver . Para isso, usaremos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Então, derivando e integrando, temos:

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, precisamos resolver . Vamos aplicar integração por partes novamente nessa nova integral.

Passo 7

Escolhemos novamente:
Derivando e integrando:
Aplicando a integração por partes:

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na equação que tínhamos anteriormente:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 10

Agora, voltando à nossa substituição inicial , substituímos de volta na expressão:
Sabemos que , então:

Resposta

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