Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar substituição e conhecimentos básicos de integração de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir
. Isso porque o argumento da função cosseno é
, e trabalhar com
pode facilitar a integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a diferencial
em termos de
. Derivando ambos os lados da equação
em relação a
, temos:
Passo 4
Substituímos
na integral original pela expressão que encontramos:
Mas como
, podemos expressar
em termos de
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver
. Para isso, usaremos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Então, derivando e integrando, temos:
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, precisamos resolver
. Vamos aplicar integração por partes novamente nessa nova integral.
Passo 7
Escolhemos novamente:
Derivando e integrando:
Aplicando a integração por partes:
Passo 8
Agora, substituímos essa expressão na equação que tínhamos anteriormente:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 10
Agora, voltando à nossa substituição inicial
, substituímos
de volta na expressão:
Sabemos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais: