Calcular as seguintes integrais: integral cos (ln z) d z

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar substituição e conhecimentos básicos de integração de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso porque o argumento da função cosseno é , e trabalhar com pode facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial dudz = 1z implies du = 1z , dz implies dz = z , du em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:

Passo 4

Substituímos integral cos (ln z) , dz = integral cos(u) cdot z , du na integral original pela expressão que encontramos:
z = e^u
Mas como integral cos(u) cdot e^u , du , podemos expressar em termos de :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver integral u , dv = u cdot v - integral v , du . Para isso, usaremos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
a = e^u e db = cos(u) , du
Vamos escolher:
da = e^u , du e b = sin(u)
Então, derivando e integrando, temos:

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^u cos(u) , du = e^u sin(u) - integral e^u sin(u) , du
Agora, precisamos resolver . Vamos aplicar integração por partes novamente nessa nova integral.

Passo 7

Escolhemos novamente:
a = e^u e db = sin(u) , du
Derivando e integrando:
da = e^u , du e b = -cos(u)
Aplicando a integração por partes:
integral e^u sin(u) , du = -e^u cos(u) + integral e^u cos(u) , du

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na equação que tínhamos anteriormente:
integral e^u cos(u) , du = e^u sin(u) - ( -e^u cos(u) + integral e^u cos(u) , du )
Simplificando:
integral e^u cos(u) , du = e^u sin(u) + e^u cos(u) - integral e^u cos(u) , du

Passo 9

Agora, vamos isolar integral e^u cos(u) , du + integral e^u cos(u) , du = e^u sin(u) + e^u cos(u) :
2 integral e^u cos(u) , du = e^u (sin(u) + cos(u))
integral e^u cos(u) , du = e^u (sin(u) + cos(u))2 + C
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 10

Agora, voltando à nossa substituição inicial integral cos (ln z) , dz = e^ln z (sin(ln z) + cos(ln z))2 + C , substituímos integral cos (ln z) , dz = z (sin(ln z) + cos(ln z))2 + C de volta na expressão:
Sabemos que , então:

Resposta

integral cos (ln z) , dz = z ( sin(ln z) + cos(ln z) )2 + C

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