Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de
a
da função
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição para resolver integrais mais complicadas. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que a função no numerador é
e no denominador temos
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição que simplifique o integrando.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
tal que:
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso é útil porque vemos que
aparece no numerador da nossa integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Vamos calcular os novos limites de integração. Quando
:
Quando
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos outra substituição:
Substituindo na integral:
Passo 6
A integração de
é um caso padrão:
Onde
é a constante de integração. Substituindo de volta
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração que definimos anteriormente (
a
):
Resposta
Portanto, o valor da integral
é:
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