Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de a da função . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição para resolver integrais mais complicadas. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que a função no numerador é e no denominador temos . Para facilitar, vamos fazer uma substituição que simplifique o integrando.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável tal que:
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso é útil porque vemos que aparece no numerador da nossa integral original.

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Vamos calcular os novos limites de integração. Quando :
Quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, fazemos outra substituição:
Substituindo na integral:

Passo 6

A integração de é um caso padrão:
Onde é a constante de integração. Substituindo de volta :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração que definimos anteriormente ( a ):

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

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