Calcular as seguintes integrais: integral0^1 e^x d x(e^x+1) ln (e^x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de a da função . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição para resolver integrais mais complicadas. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que a função no numerador é e no denominador temos . Para facilitar, vamos fazer uma substituição que simplifique o integrando.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável t = e^x + 1 tal que:
dtdx = e^x Rightarrow dt = e^x dx
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso é útil porque vemos que aparece no numerador da nossa integral original.

Passo 4

Substituindo integral0^1 e^x(e^x + 1) ln(e^x + 1) dx = integralt(0)^t(1) 1t ln t dt e t(0) = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2 na integral original, temos:
t(1) = e^1 + 1 = e + 1
Vamos calcular os novos limites de integração. Quando integral2^e + 1 1t ln t dt :
Quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral u = ln t Rightarrow dudt = 1t Rightarrow du = 1t dt . Para isso, fazemos outra substituição:
integral 1t ln t dt = integral 1u du
Substituindo na integral:

Passo 6

A integração de integral 1u du = ln |u| + C é um caso padrão:
ln |ln t| + C
Onde é a constante de integração. Substituindo de volta :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração que definimos anteriormente ( ln(ln t) |2^e + 1 = ln(ln(e + 1)) - ln(ln 2) a ):

Resposta

Portanto, o valor da integral ln(ln(e + 1)) - ln(ln 2) é:

Exercícios relacionados