Calcular as seguintes integrais: integral x^3(1-x^4)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O que a gente precisa aqui é aplicar o método de substituição, que é uma técnica fundamental em cálculo para simplificar integrais mais complicadas. Vamos usar uma substituição que facilite a presença do no integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando o integrando , uma boa opção é definir . Isso porque a derivada de em relação a vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -4x^3 em relação a du = -4x^3 dx :
x^3 dx = -14 du
Isso significa que:
Queremos isolar , então dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Substituindo integral x^3(1 - x^4)^5 dx = integral (1 - x^4)^5 x^3 dx = integral u^5 (-14 du) e -14 integral u^5 du na integral original, temos:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^5 du = u^66 + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando pela constante que tiramos antes ( -14 cdot u^66 = -u^624 + C ):

Passo 7

Finalmente, substituímos -(1 - x^4)^624 + C de volta pela expressão original :

Resposta

A integral -(1 - x^4)^624 + C é igual a:

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