Calcular as seguintes integrais: integral0^1 t e^-t d t

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso está na matéria de Cálculo, especificamente em Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, identificar as partes da função que vamos usar na integração por partes. Lembrando que a fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, podemos escolher e .

Passo 3

Agora, vamos calcular du = dt e v = integral e^-t dt = -e^-t :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t e^-t dt = -t e^-t + integral e^-t dt
= -t e^-t - e^-t + C

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
[ -t e^-t - e^-t ]0^1
Substituindo os limites:
= ( -1 cdot e^-1 - e^-1 ) - ( -0 cdot e^0 - e^0 )
= -2 e^-1 - (-1)
= -2e + 1

Resposta

A integral é igual a .

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