Calcular as seguintes integrais: integral0^1 t 5^t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente o método de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto na diferenciação e é usada quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher e de forma estratégica.

Passo 3

Vamos identificar u = t Rightarrow du = dt e dv = 5^t , dt Rightarrow v = integral 5^t , dt = 5^tln 5 na nossa integral .
Escolhemos:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral t cdot 5^t , dt = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= t cdot 5^tln 5 - integral 5^tln 5 , dt

Passo 5

Vamos resolver a segunda integral:
integral 5^tln 5 , dt = 1ln 5 integral 5^t , dt = 5^t(ln 5)^2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
integral t cdot 5^t , dt = t cdot 5^tln 5 - 5^t(ln 5)^2 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Como temos uma integral definida de 0 a 1, vamos calcular os limites:
[ t cdot 5^tln 5 - 5^t(ln 5)^2 ]0^1

Passo 8

Calculando para 1 cdot 5^1ln 5 - 5^1(ln 5)^2 = 5ln 5 - 5(ln 5)^2 :

Passo 9

Calculando para 0 cdot 5^0ln 5 - 5^0(ln 5)^2 = 0 - 1(ln 5)^2 = -1(ln 5)^2 :

Passo 10

Subtraindo os valores:
( 5ln 5 - 5(ln 5)^2 ) - ( -1(ln 5)^2 ) = 5ln 5 - 4(ln 5)^2

Resposta

O valor da integral é:
5ln 5 - 4(ln 5)^2

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