Calcular as seguintes integrais: integral cos 7 theta cos 5 theta d theta

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral de . Vamos usar conhecimentos de trigonometria, especificamente uma identidade que transforma o produto de cossenos em uma soma, para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de dois cossenos em uma soma:
cos A cos B = 12 [ cos(A + B) + cos(A - B) ]
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão que precisamos integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade à nossa integral, temos:
cos 7theta cos 5theta = 12 [ cos(7theta + 5theta) + cos(7theta - 5theta) ] = 12 [ cos(12theta) + cos(2theta) ]

Passo 4

Substituímos essa expressão na integral original:
integral cos 7theta cos 5theta , dtheta = 12 integral [ cos(12theta) + cos(2theta) ] dtheta

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
12 integral cos(12theta) , dtheta = 12 cdot sin(12theta)12 = sin(12theta)24
e
12 integral cos(2theta) , dtheta = 12 cdot sin(2theta)2 = sin(2theta)4

Resposta

Portanto, a integral de sin(12theta)24 + sin(2theta)4 + C é:
Onde é a constante de integração.

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