Determine o conjunto derivado de cada um dos subconjuntos de R. Encontre o supremo e o ínfimo dos seguintes conjuntos.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um exercício de análise real. O enunciado pede para determinar o conjunto derivado de um conjunto específico de números reais e também encontrar o supremo (maior limite) e o ínfimo (menor limite) desse conjunto. O conjunto dado é:
Vamos precisar entender o que é conjunto derivado, supremo e ínfimo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o conjunto derivado. Esse conjunto é formado por todos os pontos de acumulação de
, ou seja, pontos onde a gente pode se aproximar infinitamente de outros pontos de
. Em termos simples, são os pontos onde sempre tem outros pontos de
bem perto.
Vamos analisar cada parte de
:
-
: Esse é um intervalo fechado, o que significa que todos os pontos entre 0 e 2, incluindo 0 e 2, pertencem a . Como é um intervalo contínuo, cada ponto aqui é um ponto de acumulação. Portanto, todo o intervalo está no conjunto derivado. -
]3,5]: Esse é um intervalo semi-aberto, aberto em 3 e fechado em 5. Os pontos entre 3 (não incluído) e 5 (incluído) também s��o pontos de acumulação porque podemos nos aproximar de qualquer ponto desse intervalo a partir de dentro dele. Além disso, o ponto 5 está incluído e também é um ponto de acumulação porque podemos nos aproximar dele de dentro do intervalo. Portanto, todo o intervalo
está no conjunto derivado. -
{6,7}: Esses são pontos isolados. Não há outros pontos de
próximos a 6 ou 7, então eles não são pontos de acumulação.
Então, juntando tudo, o conjunto derivado de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o supremo e o ínfimo de
.
-
Supremo (
): É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Olhando para , o maior número é 7. Não tem nenhum número menor que 7 que seja maior ou igual a todos os elementos de . Portanto: -
Ínfimo (
): É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de . O menor número em é 0. Não tem nenhum número maior que 0 que seja menor ou igual a todos os elementos de . Portanto:
Resposta
O conjunto derivado de
é:
O supremo de
é 7 e o ínfimo de
é 0.
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Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Seja
o conjunto dos pontos de acumulação de
. Dê exemplos de conjuntos
tais que:
c)
c)