Seja o conjunto dos pontos de acumulação de . Dê exemplos de conjuntos tais que:
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para darmos exemplos de conjuntos onde os pontos de acumulação de são exatamente os próprios pontos de , ou seja, . Estamos trabalhando com pontos de acumulação e conjuntos perfeitos na análise matemática. Para resolver, vamos entender o que são pontos de acumulação e então pensar em exemplos de conjuntos que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de acumulação. Um ponto é ponto de acumulação de se, em toda vizinhança de , existem outros pontos de . Formalmente, é um ponto de acumulação de se para todo , o intervalo contém pelo menos um ponto de diferente de .

Passo 3

Agora, um conjunto onde significa que todo ponto de é também um ponto de acumulação de , e não há pontos isolados. Esses conjuntos são chamados de conjuntos perfeitos. Vamos pensar em exemplos:

Passo 4

Exemplo 1: O intervalo fechado
O conjunto inclui todos os números reais entre 0 e 1, inclusive. Aqui, cada ponto dentro desse intervalo é um ponto de acumulação porque, não importa quão perto você olhar, sempre terá outros pontos de ao redor. Não existem pontos isolados nesse conjunto.
Exemplo 2: O Conjunto de Cantor
O conjunto de Cantor é um exemplo clássico de um conjunto perfeito que é também perfeitamente denso e não enumerável. Ele é construído removendo intervalos de de forma iterativa, mas sempre permanece sem pontos isolados, mantendo .
Exemplo 3: A Reta Real
Todo número real é um ponto de acumulação de , pois entre quaisquer dois números reais, sempre há outro número real. Assim, .

Resposta

Exemplos de conjuntos que satisfazem são:
  1. O intervalo fechado .
  2. O conjunto de Cantor.
  3. A reta real .

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