Seja
o conjunto dos pontos de acumulação de
. Dê exemplos de conjuntos
tais que:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para darmos exemplos de conjuntos
onde os pontos de acumulação de
são exatamente os próprios pontos de
, ou seja,
. Estamos trabalhando com pontos de acumulação e conjuntos perfeitos na análise matemática. Para resolver, vamos entender o que são pontos de acumulação e então pensar em exemplos de conjuntos que satisfazem essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de acumulação. Um ponto
é ponto de acumulação de
se, em toda vizinhança de
, existem outros pontos de
. Formalmente,
é um ponto de acumulação de
se para todo
, o intervalo
contém pelo menos um ponto de
diferente de
.
Passo 3
Agora, um conjunto
onde
significa que todo ponto de
é também um ponto de acumulação de
, e não há pontos isolados. Esses conjuntos são chamados de conjuntos perfeitos. Vamos pensar em exemplos:
Passo 4
Exemplo 1: O intervalo fechado
O conjunto
inclui todos os números reais entre 0 e 1, inclusive. Aqui, cada ponto dentro desse intervalo é um ponto de acumulação porque, não importa quão perto você olhar, sempre terá outros pontos de
ao redor. Não existem pontos isolados nesse conjunto.
Exemplo 2: O Conjunto de Cantor
O conjunto de Cantor é um exemplo clássico de um conjunto perfeito que é também perfeitamente denso e não enumerável. Ele é construído removendo intervalos de
de forma iterativa, mas sempre permanece sem pontos isolados, mantendo
.
Exemplo 3: A Reta Real
Todo número real é um ponto de acumulação de
, pois entre quaisquer dois números reais, sempre há outro número real. Assim,
.
Resposta
Exemplos de conjuntos
que satisfazem
são:
- O intervalo fechado
. - O conjunto de Cantor.
- A reta real
.
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