O Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Nos exercícios de 1 a 3 , mostre que o valor da integral de linha integralC F dotd r para os dados F e C é independente do caminho e calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de linha é independente do caminho, ou seja, só depende dos pontos inicial e final da curva . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que se o campo vetorial é conservativo (o que significa que existe uma função potencial tal que ), então a integral de linha é independente do caminho e podemos calculá-la facilmente usando os valores de nos pontos inicial e final.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial partial Fypartial x = partial Fxpartial y é conservativo. Para um campo ser conservativo em um domínio simplesmente conexo, as derivadas parciais devem satisfazer a condição de conservatividade, ou seja:
Se essa igualdade for verdadeira, é conservativo e podemos proceder.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial Fx = partial phipartial x e Fy = partial phipartial y tal que phi(x, y) = integral Fx , dx + g(y) . Isso significa que:
Integramos em relação a para encontrar :
Onde é uma função que depende só de . Em seguida, diferenciamos em relação a e igualamos a para encontrar .

Passo 4

Depois de encontrar a função potencial integralC F cdot dr = phi(rB) - phi(rA) , podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando nos pontos final e inicial da curva :
Onde é o ponto inicial e é o ponto final de .

Resposta

Assim, a integral de linha é independente do caminho e seu valor é dado por .

Exercícios relacionados