O Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Nos exercícios de 1 a 3 , mostre que o valor da integral de linha
para os dados F e C é independente do caminho e calcule a integral.
Nos exercícios de 1 a 3 , mostre que o valor da integral de linha
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de linha
é independente do caminho, ou seja, só depende dos pontos inicial e final da curva
. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que se o campo vetorial
é conservativo (o que significa que existe uma função potencial
tal que
), então a integral de linha é independente do caminho e podemos calculá-la facilmente usando os valores de
nos pontos inicial e final.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Para um campo ser conservativo em um domínio simplesmente conexo, as derivadas parciais devem satisfazer a condição de conservatividade, ou seja:
Se essa igualdade for verdadeira,
é conservativo e podemos proceder.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Integramos
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função que depende só de
. Em seguida, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
.
Passo 4
Depois de encontrar a função potencial
, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando
nos pontos final e inicial da curva
:
Onde
é o ponto inicial e
é o ponto final de
.
Resposta
Assim, a integral de linha
é independente do caminho e seu valor é dado por
.
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto dos pontos de acumulação de
. Dê exemplos de conjuntos
tais que:
c)
c)
Calcular as seguintes integrais:
Determine o domínio das seguintes funções:
b)
b)
Determine o domínio das seguintes funções:
f)
f)