Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente cotangente ( ) e cosecante ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica que relaciona e . Sabemos que:
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos distribuir dentro dos parênteses:
Então, nossa integral original se divide em duas integrais separadas: e .

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Começando com , podemos usar a identidade de redução para integrais de potências pares de :
Aplicando isso para :

Passo 5

Agora, precisamos resolver . Aplicando a mesma identidade de redução para :
E sabemos que .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 7

Voltando à integral original que foi dividida:

Passo 8

Simplificando os termos:

Passo 9

Agrupando termos semelhantes:
Calculando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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