Calcular as seguintes integrais: integral cotg^2 y cosec^4 y d y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente cotangente ( ) e cosecante ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica que relaciona cot^2 y = csc^2 y - 1 e integral cot^2 y csc^4 y , dy = integral (csc^2 y - 1) csc^4 y , dy . Sabemos que:
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos distribuir integral (csc^6 y - csc^4 y) , dy = integral csc^6 y , dy - integral csc^4 y , dy dentro dos parênteses:
Então, nossa integral original se divide em duas integrais separadas: e .

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Começando com integral csc^n y , dy = -csc^n-2 y cot yn-1 + n-2n-1 integral csc^n-2 y , dy , podemos usar a identidade de redução para integrais de potências pares de integral csc^6 y , dy = -csc^4 y cot y5 + 45 integral csc^4 y , dy :
Aplicando isso para :

Passo 5

Agora, precisamos resolver integral csc^4 y , dy = -csc^2 y cot y3 + 23 integral csc^2 y , dy . Aplicando a mesma identidade de redução para :
E sabemos que .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral csc^4 y , dy = -csc^2 y cot y3 + 23 (-cot y) + C = -csc^2 y cot y3 - 23 cot y + C

Passo 7

Voltando à integral original que foi dividida:
integral csc^6 y , dy - integral csc^4 y , dy = ( -csc^4 y cot y5 + 45 ( -csc^2 y cot y3 - 23 cot y ) ) - ( -csc^2 y cot y3 - 23 cot y ) + C

Passo 8

Simplificando os termos:
= -csc^4 y cot y5 - 415 csc^2 y cot y - 815 cot y + csc^2 y cot y3 + 23 cot y + C

Passo 9

Agrupando termos semelhantes:
= ( -csc^4 y cot y5 - 415 csc^2 y cot y + csc^2 y cot y3 ) + ( -815 cot y + 23 cot y ) + C
Calculando os coeficientes:
= -csc^4 y cot y5 - 415 csc^2 y cot y + 515 csc^2 y cot y - 815 cot y + 1015 cot y + C
= -csc^4 y cot y5 - -4 + 515 csc^2 y cot y + -8 + 1015 cot y + C
= -csc^4 y cot y5 + 115 csc^2 y cot y + 215 cot y + C

Resposta

A integral -csc^4 y cot y5 + csc^2 y cot y15 + 2 cot y15 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados