Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente cotangente (
) e cosecante (
). Para resolver essa integral, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica que relaciona
e
. Sabemos que:
Substituindo isso na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos distribuir
dentro dos parênteses:
Então, nossa integral original se divide em duas integrais separadas:
e
.
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Começando com
, podemos usar a identidade de redução para integrais de potências pares de
:
Aplicando isso para
:
Passo 5
Agora, precisamos resolver
. Aplicando a mesma identidade de redução para
:
E sabemos que
.
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 7
Voltando à integral original que foi dividida:
Passo 8
Simplificando os termos:
Passo 9
Agrupando termos semelhantes:
Calculando os coeficientes:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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