Calcular as seguintes integrais: integral0^3 e^x cos ^7(e^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a 3.
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções compostas e potências de cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = e^x dudx = e^x du = e^x dx . Isso significa que precisamos calcular , que é a derivada de em relação a .
Perceba que , o que simplifica bastante a integral.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral0^3 e^x cos^7(e^x) dx = integralu(0)^u(3) cos^7(u) du
Agora precisamos calcular os novos limites de integração:
u(0) = e^0 = 1 u(3) = e^3
Então, a integral fica:
integral1^e^3 cos^7(u) du

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral cos^7(u) = cos^6(u) cdot cos(u) cos^6(u) = (cos^2(u))^3 = (1 - sin^2(u))^3 . Como o cosseno está elevado a uma potência ímpar, podemos usar uma identidade trigonom��trica para facilitar:
integral cos^7(u) du = integral (1 - sin^2(u))^3 cos(u) du
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos fazer uma nova substituição para simplificar ainda mais. Deixe dt = cos(u) du , então:
integral (1 - t^2)^3 dt
Substituindo na integral:
(1 - t^2)^3 = 1 - 3t^2 + 3t^4 - t^6
Agora, vamos expandir integral (1 - 3t^2 + 3t^4 - t^6) dt = t - t^3 + 35t^5 - 17t^7 + C :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos voltar às variáveis originais. Lembrando que t = sin(u) = sin(e^x) e sin(e^x) - sin^3(e^x) + 35 sin^5(e^x) - 17 sin^7(e^x) + C , temos:
Então, a expressão integrada é:

Passo 7

Finalmente, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 3:
[ sin(e^3) - sin^3(e^3) + 35 sin^5(e^3) - 17 sin^7(e^3) ] - [ sin(1) - sin^3(1) + 35 sin^5(1) - 17 sin^7(1) ]

Resposta

A integral definida de sin(e^3) - sin^3(e^3) + 35 sin^5(e^3) - 17 sin^7(e^3) - sin(1) + sin^3(1) - 35 sin^5(1) + 17 sin^7(1) de 0 a 3 é:

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