Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 a 3.
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções compostas e potências de cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções compostas e potências de cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Isso significa que precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Perceba que
, o que simplifica bastante a integral.
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
Agora precisamos calcular os novos limites de integração:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Como o cosseno está elevado a uma potência ímpar, podemos usar uma identidade trigonom��trica para facilitar:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos fazer uma nova substituição para simplificar ainda mais. Deixe
, então:
Substituindo na integral:
Agora, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos voltar às variáveis originais. Lembrando que
e
, temos:
Então, a expressão integrada é:
Passo 7
Finalmente, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 3:
Resposta
A integral definida de
de 0 a 3 é: