Calcular as seguintes integrais: integral0^pi4 tg^2 x sec ^4 x d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida de de a . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos usar a substituição du = sec^2x , dx Rightarrow dx = dusec^2x . Isso porque a derivada de é , o que aparece na nossa integral. Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos reescrever todos os termos da integral em termos de tan^2x = u^2 :
sec^4x = (sec^2x)^2 = (1 + tan^2x)^2 = (1 + u^2)^2
dx = du1 + u^2
integral0^pi4 tan^2x sec^4x , dx = integral0^1 u^2 (1 + u^2)^2 cdot du1 + u^2
Substituindo na integral:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
u^2 (1 + u^2)^2 cdot 11 + u^2 = u^2 (1 + u^2)
Agora, expandindo o polinômio:
u^2 + u^4
Integrando termo a termo:
integral u^2 , du + integral u^4 , du = u^33 + u^55

Passo 5

Agora, substituímos [ u^33 + u^55 ]0^1 = ( 13 + 15 ) - ( 0 + 0 ) = 13 + 15 = 815 de volta e aplicamos os limites de integração de a :

Resposta

A integral vale .

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