Calcular as seguintes integrais: integral sec ^2 xcotg x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral de sec^2 xcot x , dx. A gente vai precisar usar conhecimentos de trigonometria e técnicas de integração, como substituição. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que cot x é igual a cos xsin x. Então, podemos reescrever a integral assim:
integral sec^2 xcot x , dx = integral sec^2 xcos xsin x , dx
Isso simplifica para:
integral sec^2 x cdot sin xcos x , dx

Passo 3

Agora, lembremos que sec x é igual a 1cos x. Portanto, sec^2 x é 1cos^2 x. Substituindo na integral, temos:
integral 1cos^2 x cdot sin xcos x , dx = integral sin xcos^3 x , dx

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja u = cos x. Então, a derivada de u em relação a x é du = -sin x , dx, ou seja, sin x , dx = -du. Substituindo na integral:
integral sin xcos^3 x , dx = integral -duu^3 = -integral u^-3 , du

Passo 5

Integrando u^-3, temos:
-integral u^-3 , du = -( u^-2-2 ) + C = 12u^2 + C
Agora, substituímos u = cos x de volta:
12cos^2 x + C = 12 sec^2 x + C

Resposta

A integral integral sec^2 xcot x , dx é igual a 12 sec^2 x + C, onde C é a constante de integração.

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