Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de até . Então, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas, mais especificamente a cotangente elevada ao cubo. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica e conhecimentos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Sabemos que , então:
Isso nos ajuda a separar a expressão em termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral usando essa expressão:
Isso divide a integral original em duas integrais mais simples.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes:
Agora, vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver . Sabemos que:
Portanto:
Vamos usar substituição. Deixe , então . A integral fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: . Sabemos que:

Passo 7

Juntando as duas partes, temos:
Agora, aplicamos os limites de integração de até .

Resposta

Substituindo os limites de integração, a integral vale:
Simplificando, , então a resposta final é:

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