Calcular as seguintes integrais: integralpi4^pi2 cotg^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de cot^3 x de pi4 até pi2. Então, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas, mais especificamente a cotangente elevada ao cubo. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica e conhecimentos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cot^3 x de uma forma que facilite a integração. Sabemos que cot x = cos xsin x, então:
cot^3 x = cot x cdot cot^2 x = cot x cdot (csc^2 x - 1)
Isso nos ajuda a separar a expressão em termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral usando essa expressão:
integralpi4^pi2 cot^3 x , dx = integralpi4^pi2 cot x (csc^2 x - 1) , dx
Isso divide a integral original em duas integrais mais simples.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes:
integral cot x csc^2 x , dx - integral cot x , dx
Agora, vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver integral cot x csc^2 x , dx. Sabemos que:
cot x = cos xsin x e csc x = 1sin x
Portanto:
cot x csc^2 x = cos xsin x cdot 1sin^2 x = cos xsin^3 x
Vamos usar substituição. Deixe u = sin x, então du = cos x , dx. A integral fica:
integral duu^3 = integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C = -12 sin^2 x + C

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral cot x , dx. Sabemos que:
integral cot x , dx = ln|sin x| + C

Passo 7

Juntando as duas partes, temos:
integral cot^3 x , dx = -12 sin^2 x - ln|sin x| + C
Agora, aplicamos os limites de integração de pi4 até pi2.

Resposta

Substituindo os limites de integração, a integral vale:
[ -12 sin^2 x - ln|sin x| ]pi4^pi2 = ( -12 cdot 1^2 - ln 1 ) - ( -12 (raiz22)^2 - ln raiz22 ) = -12 - 0 - ( -1 - ln raiz22 ) = 12 + ln raiz2
Simplificando, ln raiz2 = 12 ln 2, então a resposta final é:
12 + 12 ln 2

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