Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de . Isso envolve cálculo de integrais racionais, que são funções onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Podemos fatorar colocando em evidência:
E o é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Isso significa que vamos encontrar constantes , , e tais que:

Passo 4

Para encontrar , , e , vamos multiplicar ambos os lados por :
Agora, escolhemos valores estratégicos para para simplificar:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora, para encontrar , podemos escolher outro valor, por exemplo, :

Passo 5

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
As integrais são conhecidas:

Resposta

A integral de é:

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