Calcular as seguintes integrais:
integral d xx^4-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de . Isso envolve cálculo de integrais racionais, que são funções onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) . Podemos fatorar colocando x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) em evidência:
x^4 - x^2 = x^2(x - 1)(x + 1)
E o é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração 1x^2(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx^2 + Cx - 1 + Dx + 1 como uma soma de frações parciais. Isso significa que vamos encontrar constantes , , e tais que:

Passo 4

Para encontrar 1 = A cdot x(x - 1)(x + 1) + B cdot (x - 1)(x + 1) + C cdot x^2(x + 1) + D cdot x^2(x - 1) , 1 = B cdot (-1)(1) implies B = -1 , 1 = C cdot 1^2(2) implies C = 12 e 1 = D cdot (-1)^2(-2) implies D = -12 , vamos multiplicar ambos os lados por 1 = A cdot 2(1)(3) + (-1) cdot (1)(3) + 12 cdot 4(3) + (-12) cdot 4(1) :
1 = 6A - 3 + 6 - 2
Agora, escolhemos valores estratégicos para 1 = 6A + 1 implies A = 0 para simplificar:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora, para encontrar , podemos escolher outro valor, por exemplo, :

Passo 5

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
1x^2(x - 1)(x + 1) = 0x + -1x^2 + 1/2x - 1 + -1/2x + 1
= -1x^2 + 12(x - 1) - 12(x + 1)

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral dxx^4 - x^2 = integral ( -1x^2 + 12(x - 1) - 12(x + 1) ) dx
Integrando termo a termo:
= -integral 1x^2 dx + 12 integral 1x - 1 dx - 12 integral 1x + 1 dx
As integrais são conhecidas:
= -( -1x ) + 12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C
= 1x + 12 ln|x - 1x + 1| + C

Resposta

A integral de 1x + 12 ln|x - 1x + 1| + C é:

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