Calcular as seguintes integrais:
integral1^2 x^2+3x^3+2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais racionais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão da fração e possivelmente usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^3 + 2x = x(x^2 + 2) . Podemos fatorar esse polinômio:
integral1^2 x^2+3x(x^2 + 2) dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração x^2+3x(x^2 + 2) = x^2x(x^2 + 2) + 3x(x^2 + 2) = 1x^2 + 2 + 3x(x^2 + 2) dividindo o numerador pelo denominador. Podemos fazer isso dividindo por :

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
integral1^2 1x^2 + 2 dx + integral1^2 3x(x^2 + 2) dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral: integral 1x^2 + 2 dx = 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
Sabemos que a integral de é . Aqui, .
Então,

Passo 6

Segunda integral: 3 = A(x^2 + 2) + (Bx + C)x
Para resolver isso, vamos usar frações parciais. Queremos escrever 3 = A x^2 + 2A + B x^2 + C x como 3 = (A + B)x^2 + C x + 2A .
Multiplicando ambos os lados por A + B = 0 C = 0 2A = 3 :
3x(x^2 + 2) = 32x + -32xx^2 + 2
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
  • De , temos
  • De , então
Então, a fração parcial fica:

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 3x(x^2 + 2) dx = 32 integral 1x dx - 32 integral xx^2 + 2 dx
A primeira integral é direta, e para a segunda, fazemos uma substituição simples.

Passo 8

Integrando cada termo:
  1. integral xx^2 + 2 dx = 12 ln|x^2 + 2| + C
  2. Para -32 integral xx^2 + 2 dx = -34 ln|x^2 + 2| + C , fazemos , então , ou seja, .
Então,
Então,

Passo 9

Juntando tudo, a segunda integral fica:
32 ln|x| - 34 ln|x^2 + 2| + C

Passo 10

Agora, somamos as duas integrais que calculamos:
1raiz2 tan^-1(xraiz2) + 32 ln|x| - 34 ln|x^2 + 2| + C

Resposta

A integral [ 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + 32 ln|x| - 34 ln|x^2 + 2| ]1^2 é igual a:
Para encontrar o valor final, basta substituir e na expressão acima e calcular a diferença.

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