Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais racionais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão da fração e possivelmente usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Podemos fatorar esse polinômio:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dividindo o numerador pelo denominador. Podemos fazer isso dividindo por :

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
Sabemos que a integral de é . Aqui, .
Então,

Passo 6

Segunda integral:
Para resolver isso, vamos usar frações parciais. Queremos escrever como .
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
  • De , temos
  • De , então
Então, a fração parcial fica:

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é direta, e para a segunda, fazemos uma substituição simples.

Passo 8

Integrando cada termo:
  1. Para , fazemos , então , ou seja, .
Então,
Então,

Passo 9

Juntando tudo, a segunda integral fica:

Passo 10

Agora, somamos as duas integrais que calculamos:

Resposta

A integral é igual a:
Para encontrar o valor final, basta substituir e na expressão acima e calcular a diferença.

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