Calcular as seguintes integrais: integral0^pi sec z tg z d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^pi sec z tg z , dz. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades das funções trigonométricas e das regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa tg z. Em português, tg z é a tangente de z, que é representada como tan z em outras notações. Então, nossa integral fica:
integral0^pi sec z tan z , dz

Passo 3

Sabemos que a derivada da função secante é:
ddz sec z = sec z tan z
Isso é super útil porque a nossa integral é exatamente sec z tan z.

Passo 4

Usando essa informação, podemos reconhecer que a integral de sec z tan z em relação a z é simplesmente sec z mais a constante de integração. Assim:
integral sec z tan z , dz = sec z + C

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a pi. Ou seja, vamos calcular sec pi - sec 0.
Sabemos que:
  • sec pi = 1cos pi = 1-1 = -1
  • sec 0 = 1cos 0 = 11 = 1

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão, temos:
sec pi - sec 0 = -1 - 1 = -2

Resposta

A integral integral0^pi sec z tg z , dz é igual a -2.

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