Calcular as seguintes integrais:
integral13^3 raizxx^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma função que envolve uma raiz quadrada e um denominador polinomial. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que o denominador x^2 + x = x(x + 1) pode ser fatorado:
integral13^3 raizxx(x + 1) , dx = integral13^3 raizxx(x + 1) , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar dx = 2t , dt . Assim, integral tt^2(t^2 + 1) cdot 2t , dt = 2 integral t^2t^2(t^2 + 1) , dt = 2 integral 1t^2 + 1 , dt , e derivando ambos os lados em relação a , temos:
Substituindo e na integral original:

Passo 4

A integral agora ficou muito mais simples:
2 integral 1t^2 + 1 , dt
Sabemos que:
integral 1t^2 + 1 , dt = arctan(t) + C
Portanto:
2 arctan(t) + C

Passo 5

Agora, revertendo a substituição que fizemos anteriormente ( 2 arctan(raizx) + C ):

Passo 6

Finalmente, vamos calcular os limites da integral definida. Substituímos 2 arctan(raiz3) = 2 cdot pi3 = 2pi3 pelos limites de integração:
Para 2 arctan(raiz13) = 2 cdot pi6 = pi3 :
2pi3 - pi3 = pi3
Para :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados