Calcular as seguintes integrais: integral d yy raiz5-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente está lidando com integrais, que fazem parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica porque temos uma expressão com .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a raiz quadrada. Vamos definir . Isso significa que .

Passo 3

Substituindo integral raiz5 cos theta , dthetaraiz5 sin theta cdot raiz5 - 5 sin^2 theta e raiz5 - 5 sin^2 theta = raiz5 (1 - sin^2 theta) = raiz5 cos theta na integral, temos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:

Passo 4

Agora substituindo de volta na integral:
integral raiz5 cos theta , dthetaraiz5 sin theta cdot raiz5 cos theta = integral dthetasin theta
Sabemos que integral csc theta , dtheta , então a integral fica:

Passo 5

A integral de -ln|csc theta + cot theta| + C é , onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original sin theta = yraiz5 Rightarrow theta = arcsin(yraiz5) . Sabemos que csc theta = 1sin theta = raiz5y, cot theta = cos thetasin theta = raiz5 - y^2y , então:
Usando relações trigonométricas, encontramos:

Resposta

Substituindo tudo de volta, a integral fica:
-ln|raiz5y + raiz5 - y^2y| + C = -ln|raiz5 + raiz5 - y^2y| + C

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