Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição para facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e conhecer a fórmula da integral envolvendo a raiz quadrada de uma expressão quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Assim, precisamos também derivar
em relação a
para substituir o diferencial
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Isso significa que
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Agora, temos uma integral mais simples:
.
Passo 5
A próxima etapa é resolver a integral
. Essa é uma integral padrão que podemos resolver usando uma fórmula de integração conhecida:
No nosso caso,
, então substituindo na fórmula:
Passo 6
Aplicando a fórmula, temos:
Passo 7
Agora, vamos substituir de volta
para retornar à variável original
:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Prove a seguinte fórmula de redução (ou recorrência):
Sugestão:Use o método de integração por partes.
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais: