Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição para facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e conhecer a fórmula da integral envolvendo a raiz quadrada de uma expressão quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Assim, precisamos também derivar em relação a para substituir o diferencial .

Passo 3

Derivando em relação a , temos:
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo e na integral original, ficamos com:
Agora, temos uma integral mais simples: .

Passo 5

A próxima etapa é resolver a integral . Essa é uma integral padrão que podemos resolver usando uma fórmula de integração conhecida:
No nosso caso, , então substituindo na fórmula:

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:

Passo 7

Agora, vamos substituir de volta para retornar à variável original :

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Prove a seguinte fórmula de redução (ou recorrência):
Sugestão:Use o método de integração por partes.
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais: