Calcular as seguintes integrais: integral e^t raiz9-e^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^t raiz9 - e^2 t , dt. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição para facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e conhecer a fórmula da integral envolvendo a raiz quadrada de uma expressão quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = e^t. Assim, precisamos também derivar u em relação a t para substituir o diferencial dt.

Passo 3

Derivando u = e^t em relação a t, temos:
dudt = e^t implies du = e^t , dt
Isso significa que e^t , dt = du.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, ficamos com:
integral e^t raiz9 - e^2 t , dt = integral raiz9 - u^2 , du
Agora, temos uma integral mais simples: integral raiz9 - u^2 , du.

Passo 5

A próxima etapa é resolver a integral integral raiz9 - u^2 , du. Essa é uma integral padrão que podemos resolver usando uma fórmula de integração conhecida:
integral raiza^2 - u^2 , du = u2 raiza^2 - u^2 + a^22 arcsin(ua) + C
No nosso caso, a = 3, então substituindo na fórmula:

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
integral raiz9 - u^2 , du = u2 raiz9 - u^2 + 92 arcsin(u3) + C

Passo 7

Agora, vamos substituir de volta u = e^t para retornar à variável original t:
e^t2 raiz9 - e^2 t + 92 arcsin(e^t3) + C

Resposta

A integral integral e^t raiz9 - e^2 t , dt é igual a:
e^t2 raiz9 - e^2 t + 92 arcsin(e^t3) + C

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