Calcular as seguintes integrais: integral0^pi2 sen^3 x raizcos x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de sin^3 x raizcos x no intervalo de 0 a pi2. Para resolver isso, vamos usar substituição trigonométrica e propriedades de integrais.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar t = cos x. Isso significa que dt = -sin x , dx, ou seja, dx = -dtsin x.

Passo 3

Agora, vamos alterar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando x = 0, t = cos 0 = 1.
  • Quando x = pi2, t = cos pi2 = 0.
Então, a integral passa a ser de 1 a 0, mas como temos o sinal negativo na substituição, podemos inverter os limites e tirar o negativo:
integral0^pi2 sin^3 x raizcos x , dx = integral0^1 sin^3 x raizt cdot dtsin x

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que sin^3 x = sin^2 x cdot sin x. E como sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - t^2, substituímos:
integral0^1 (1 - t^2) raizt , dt

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^1 raizt , dt - integral0^1 t^2 raizt , dt
Isso fica igual a:
integral0^1 t^12 , dt - integral0^1 t^52 , dt

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente usando a regra de integração integral t^n , dt = t^n+1n+1:
  1. Para integral0^1 t^12 , dt:
t^3232 |0^1 = 23 (1^32 - 0) = 23
  1. Para integral0^1 t^52 , dt:
t^7272 |0^1 = 27 (1^72 - 0) = 27

Passo 7

Agora, subtraímos os resultados das integrais:
23 - 27 = 1421 - 621 = 821

Resposta

A integral integral0^pi2 sin^3 x raizcos x , dx é igual a 821.

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