Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar substituição trigonométrica e propriedades de integrais.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos alterar os limites de integração de acordo com a substituição:
Quando , .
Quando , .
Então, a integral passa a ser de a , mas como temos o sinal negativo na substituição, podemos inverter os limites e tirar o negativo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que . E como , substituímos:
Passo 5
Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Isso fica igual a:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente usando a regra de integração :
Para :
Para integral0^1 t^52 , dt:
t^7272 |0^1 = 27 (1^72 - 0) = 27
Passo 7
Agora, subtraímos os resultados das integrais:
23 - 27 = 1421 - 621 = 821
Resposta
A integral integral0^pi2 sin^3 x raizcos x , dx é igual a 821.