Calcular as seguintes integrais: integral y cosec^2 y d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral y cosec^2 y , dy. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com uma técnica chamada integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da expressão que serão atribuídas a e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que vai ser e o que vai ser na nossa integral. Uma boa escolha é deixar porque sua derivada será simples, e então .

Passo 3

Agora, calculamos e :
  • Derivada de :
  • Integral de :
Aqui usamos a regra que a integral de é .

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral y cosec^2 y , dy = y cdot (-cot y) - integral (-cot y) , dy

Passo 5

Simplificamos a expressão:
- y cot y + integral cot y , dy
Agora, precisamos integrar .

Passo 6

Sabemos que a integral de integral cot y , dy = ln|sin y| é , então:

Passo 7

Juntando tudo, a solução completa da integral é:
- y cot y + ln|sin y| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral y cosec^2 y , dy = - y cot y + ln|sin y| + C

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