Prove a seguinte fórmula de redução (ou recorrência):
Sugestão:Use o método de integração por partes.
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar uma fórmula de redução para a integral de usando integração por partes. Basicamente, vamos transformar uma integral mais complicada em outra mais simples, facilitando a resolução. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes. Ela é dada por:
Aqui, a gente escolhe e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula na integral . Precisamos escolher e de forma estratégica. Vamos definir:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 5

Substituindo na fórmula de integração por partes:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a integral. Sabemos que , então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 8

Vamos isolar do lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, dividindo ambos os lados por :

Resposta

Pronto! Provamos que:

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