Prove a seguinte fórmula de redução (ou recorrência):
integral cos ^n x d x=1n cos ^n-1 x sen x-n-1n integral cos ^n-2 x d x, n in N com n >= 2
Sugestão:Use o método de integração por partes.
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar uma fórmula de redução para a integral de usando integração por partes. Basicamente, vamos transformar uma integral mais complicada em outra mais simples, facilitando a resolução. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula na integral . Precisamos escolher e de forma estratégica. Vamos definir:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 5

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral cos^n x , dx = uv - integral v , du = cos^n-1 x sin x - integral sin x ( - (n-1) cos^n-2 x sin x ) dx = cos^n-1 x sin x + (n-1) integral cos^n-2 x sin^2 x , dx

Passo 6

Agora, vamos simplificar a integral. Sabemos que integral cos^n-2 x sin^2 x , dx = integral cos^n-2 x (1 - cos^2 x) , dx = integral cos^n-2 x , dx - integral cos^n x , dx , então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral cos^n x , dx = cos^n-1 x sin x + (n-1) ( integral cos^n-2 x , dx - integral cos^n x , dx )

Passo 8

Vamos isolar integral cos^n x , dx + (n-1) integral cos^n x , dx = cos^n-1 x sin x + (n-1) integral cos^n-2 x , dx n integral cos^n x , dx = cos^n-1 x sin x + (n-1) integral cos^n-2 x , dx do lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, dividindo ambos os lados por integral cos^n x , dx = 1n cos^n-1 x sin x - n-1n integral cos^n-2 x , dx :

Resposta

Pronto! Provamos que:
integral cos^n x , dx = 1n cos^n-1 x sin x - n-1n integral cos^n-2 x , dx

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