Prove a seguinte fórmula de redução (ou recorrência):
Sugestão:Use o método de integração por partes.
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar uma fórmula de redução para a integral de
usando integração por partes. Basicamente, vamos transformar uma integral mais complicada em outra mais simples, facilitando a resolução. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular potências de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes. Ela é dada por:
Aqui, a gente escolhe
e
de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula na integral
. Precisamos escolher
e
de forma estratégica. Vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
: - Integrando
:
Passo 5
Substituindo na fórmula de integração por partes:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a integral. Sabemos que
, então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 8
Vamos isolar
do lado esquerdo:
Passo 9
Finalmente, dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Pronto! Provamos que:
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais: