Calcular as seguintes integrais: integralpi6^pi3 cosec^3 x d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral definida de csc^3 x no intervalo de pi6 até pi3. Isso envolve técnicas de cálculo de integrais usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que csc x é igual a 1sin x. Então, csc^3 x pode ser escrita como 1sin^3 x. Para integrar isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes.

Passo 3

Integração por partes é como a regra do produto para derivadas, mas ao contrário. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u = csc x e dv = csc^2 x dx. Então, precisamos achar du e v.

Passo 4

Calculando du:
du = -csc x cot x dx
E integrando dv para achar v:
v = -cot x
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral csc^3 x dx = -csc x cot x + integral csc x cot^2 x dx

Passo 5

Sabemos que cot^2 x = csc^2 x - 1. Substituindo na integral:
integral csc x (csc^2 x - 1) dx = integral csc^3 x dx - integral csc x dx
Agora, reorganizamos:
integral csc^3 x dx = -csc x cot x + integral csc^3 x dx - integral csc x dx

Passo 6

Subtraindo integral csc^3 x dx de ambos os lados:
0 = -csc x cot x - integral csc x dx
Portanto:
integral csc^3 x dx = -csc x cot x + integral csc x dx

Passo 7

Sabemos que:
integral csc x dx = -ln|csc x + cot x| + C
Então, substituindo de volta:
integral csc^3 x dx = -csc x cot x - ln|csc x + cot x| + C

Passo 8

Agora, vamos aplicar os limites de integração de pi6 a pi3:
[ -csc x cot x - ln|csc x + cot x| ]pi6^pi3

Passo 9

Calculando em x = pi3:
-csc(pi3) cot(pi3) - ln|csc(pi3) + cot(pi3)|
Sabemos que:
csc(pi3) = 2raiz3, cot(pi3) = 1raiz3
Então:
-2raiz3 cdot 1raiz3 - ln|2raiz3 + 1raiz3| = -23 - ln(3raiz3) = -23 - ln(raiz3)

Passo 10

Calculando em x = pi6:
-csc(pi6) cot(pi6) - ln|csc(pi6) + cot(pi6)|
Sabemos que:
csc(pi6) = 2, cot(pi6) = raiz3
Então:
-2 cdot raiz3 - ln(2 + raiz3) = -2raiz3 - ln(2 + raiz3)

Passo 11

Subtraindo os valores:
(-23 - ln(raiz3)) - (-2raiz3 - ln(2 + raiz3)) = -23 + 2raiz3 - ln(raiz3) + ln(2 + raiz3)
Usando propriedades dos logaritmos:
-ln(raiz3) + ln(2 + raiz3) = ln(2 + raiz3raiz3)
Então:
2raiz3 - 23 + ln(2 + raiz3raiz3)

Resposta

A integral integralpi6^pi3 csc^3 x , dx é igual a 2raiz3 - 23 + ln(2 + raiz3raiz3).

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