Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de até . Isso envolve técnicas de cálculo de integrais usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é igual a . Então, pode ser escrita como . Para integrar isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes.

Passo 3

Integração por partes é como a regra do produto para derivadas, mas ao contrário. A fórmula é:
Vamos escolher e . Então, precisamos achar e .

Passo 4

Calculando :
E integrando para achar :
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:

Passo 5

Sabemos que . Substituindo na integral:
Agora, reorganizamos:

Passo 6

Subtraindo de ambos os lados:
Portanto:

Passo 7

Sabemos que:
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Agora, vamos aplicar os limites de integração de a :

Passo 9

Calculando em :
Sabemos que:
Então:

Passo 10

Calculando em :
Sabemos que:
Então:

Passo 11

Subtraindo os valores:
Usando propriedades dos logaritmos:
Então:

Resposta

A integral é igual a .

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Prove a seguinte fórmula de redução (ou recorrência):
Sugestão:Use o método de integração por partes.
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]