Calcular as seguintes integrais: integral sen^3 theta cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever integral sin^3 theta cos^2 theta , dtheta = integral sin^2 theta cdot sin theta cos^2 theta , dtheta de uma forma que facilite a integração. Sabemos que . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica integral (1 - cos^2 theta) cdot sin theta cos^2 theta , dtheta para substituir :

Passo 4

Distribuindo os termos dentro da integral:
integral sin theta cos^2 theta , dtheta - integral sin theta cos^4 theta , dtheta

Passo 5

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
integral sin theta cos^2 theta , dtheta = -integral u^2 , du
integral sin theta cos^4 theta , dtheta = -integral u^4 , du

Passo 7

Integrando cada termo:
-integral u^2 , du = -( u^33 ) + C
-integral u^4 , du = -( u^55 ) + C

Passo 8

Voltando para -( cos^3 theta3 ) - ( -cos^5 theta5 ) + C :
= -cos^3 theta3 + cos^5 theta5 + C

Resposta

A integral -cos^3 theta3 + cos^5 theta5 + C é igual a:

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