Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
. Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão
. Como temos potências ímpares de seno e cosseno, uma boa estratégia é separar um fator de
para facilitar a substituição. Podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
Substituindo isso na nossa expressão, temos:
Passo 4
Vamos agora fazer a substituição para simplificar a integral. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Então, temos:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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Prove que:
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) do exercício I).]