Calcular as seguintes integrais: integral sen^3 theta cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral . Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão sin^3 theta cos^2 theta = sin^2 theta cdot sin theta cos^2 theta . Como temos potências ímpares de seno e cosseno, uma boa estratégia é separar um fator de para facilitar a substituição. Podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
sin^2 theta = 1 - cos^2 theta
Substituindo isso na nossa expressão, temos:
sin^3 theta cos^2 theta = (1 - cos^2 theta) cdot sin theta cos^2 theta

Passo 4

Vamos agora fazer a substituição para simplificar a integral. Vamos definir dudtheta = -sin theta Rightarrow du = -sin theta , dtheta . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 5

Substituindo integral (1 - u^2) cdot u^2 cdot (-du) = -integral (u^2 - u^4) , du e na integral, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
-integral (u^2 - u^4) , du = -( integral u^2 , du - integral u^4 , du )
Calculando cada integral separadamente:
integral u^2 , du = u^33 e integral u^4 , du = u^55
Então, temos:
-( u^33 - u^55 ) = -u^33 + u^55

Passo 7

Agora, substituímos -cos^3 theta3 + cos^5 theta5 de volta na expressão:

Resposta

A integral -cos^3 theta3 + cos^5 theta5 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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