Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral . Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão . Como temos potências ímpares de seno e cosseno, uma boa estratégia é separar um fator de para facilitar a substituição. Podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
Substituindo isso na nossa expressão, temos:

Passo 4

Vamos agora fazer a substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 5

Substituindo e na integral, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Então, temos:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Prove que:
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) do exercício I).]