Prove que:
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) do exercício I).]

Passo 1

Então, temos um exercício que nos pede para provar a seguinte igualdade:
Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, precisamos entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções e é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula de integração por partes é:
Onde:
  • é uma função que escolhemos derivar.
  • é a parte restante que escolhemos integrar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso específico, onde queremos integrar . Vamos escolher:
  • (esta é a função que vamos derivar)
  • (esta é a função que vamos integrar)

Passo 4

Calculando e :
  • Para encontrar , derivamos em relação a :
  • Para encontrar , integramos :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo , , :

Passo 6

Simplificando a expressão:
E assim, provamos a igualdade desejada.

Resposta

Conseguimos provar que:

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Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
(b) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal.
57.
58.