Prove que:
1) integral(ln x)^n d x=x(ln x)^n-n integral(ln x)^n-1 d x
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) do exercício I).]

Passo 1

Então, temos um exercício que nos pede para provar a seguinte igualdade:
integral(ln x)^n dx = x(ln x)^n - n integral(ln x)^n-1 dx
Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, precisamos entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções e é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Onde:
  • é uma função que escolhemos derivar.
  • é a parte restante que escolhemos integrar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso específico, onde queremos integrar . Vamos escolher:
  • (esta é a função que vamos derivar)
  • (esta é a função que vamos integrar)

Passo 4

Calculando du = ddx [(ln x)^n] dx = n (ln x)^n-1 cdot 1x dx = n (ln x)^n-1x dx e v = integral dx = x :
  • Para encontrar , derivamos em relação a :
  • Para encontrar , integramos :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo integral (ln x)^n dx = x (ln x)^n - integral x cdot n (ln x)^n-1x dx , , :

Passo 6

Simplificando a expressão:
integral (ln x)^n dx = x (ln x)^n - n integral (ln x)^n-1 dx
E assim, provamos a igualdade desejada.

Resposta

Conseguimos provar que:
integral (ln x)^n dx = x (ln x)^n - n integral (ln x)^n-1 dx

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