Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integrais. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade da soma de ângulos para o seno. A fórmula é:
Nesse caso, temos e . Vamos aplicar essa identidade à função dentro da integral.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
Então, substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos distribuir o dentro da integral:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral .
Para isso, usamos a substituição. Seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral . Para resolver isso, usamos a identidade de potência para o cosseno:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:

Passo 7

Agora, juntando tudo de volta na expressão original:
Simplificando:

Resposta

A integral avaliada é:
onde é a constante de integração.

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