Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integrais. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade da soma de ângulos para o seno. A fórmula é:
Nesse caso, temos
e
. Vamos aplicar essa identidade à função dentro da integral.
Passo 3
Aplicando a identidade, temos:
Então, substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos distribuir o
dentro da integral:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral .
Para isso, usamos a substituição. Seja , então
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda integral
. Para resolver isso, usamos a identidade de potência para o cosseno:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Passo 7
Agora, juntando tudo de volta na expressão original:
Simplificando:
Resposta
A integral avaliada é:
onde
é a constante de integração.
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