Calcular as seguintes integrais: integral sen(theta+pi6) cos theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integrais. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade da soma de ângulos para o seno. A fórmula é:
Nesse caso, temos sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B e . Vamos aplicar essa identidade à função dentro da integral.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
Então, substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos distribuir o integral ( sen theta cos pi6 cos theta + cos theta sen pi6 cos theta ) dtheta dentro da integral:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral .
Para isso, usamos a substituição. Seja , então integral u , du = u^22 + C = sen^2 theta2 + C . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 . Para resolver isso, usamos a identidade de potência para o cosseno:
integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos 2theta , dtheta
Então, a integral fica:
12 theta + 14 sen 2theta + C
Calculando cada parte:

Passo 7

Agora, juntando tudo de volta na expressão original:
Simplificando:

Resposta

A integral avaliada é:
onde cos pi62 sen^2 theta + sen pi62 theta + sen pi64 sen 2theta + C é a constante de integração.

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