Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de com respeito a . Esse problema faz parte do estudo de integrais que envolvem funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver, vamos precisar usar algumas fórmulas de integração envolvendo senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observando que temos uma potência ímpar de cosseno ( ), podemos separar uma e reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, lembra que pode ser substituído usando a identidade trigonométrica . Vamos fazer essa substituição:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos deixar , então:
Isso significa que . Substituindo na integral, ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos distribuir dentro do parênteses:

Passo 6

Essa integral é mais fácil de resolver. Basta integrar termo a termo:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, vamos voltar à variável original substituindo :

Resposta

A integral de é:

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