Calcular as seguintes integrais: integral sen^6 x cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de com respeito a . Esse problema faz parte do estudo de integrais que envolvem funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver, vamos precisar usar algumas fórmulas de integração envolvendo senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observando que temos uma potência ímpar de cosseno ( integral sin^6(x) cos^3(x) dx = integral sin^6(x) cos^2(x) cos(x) dx ), podemos separar uma e reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, lembra que integral sin^6(x) (1 - sin^2(x)) cos(x) dx pode ser substituído usando a identidade trigonométrica . Vamos fazer essa substituição:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos deixar du = cos(x) dx , então:
integral u^6 (1 - u^2) du
Isso significa que . Substituindo na integral, ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos distribuir integral (u^6 - u^8) du dentro do parênteses:

Passo 6

Essa integral é mais fácil de resolver. Basta integrar termo a termo:
integral u^6 du - integral u^8 du = u^77 - u^99 + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, vamos voltar à variável original substituindo sin^7(x)7 - sin^9(x)9 + C :

Resposta

A integral de sin^7(x)7 - sin^9(x)9 + C é:

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