Calcular as seguintes integrais: integral0^pi2 sen^2 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o seno ao quadrado em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que diz:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
Essa identidade nos ajuda a simplificar o seno ao quadrado para facilitar a integração. No nosso caso, sin^2(3x) = 1 - cos(6x)2 , então substituindo na identidade, temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na nossa integral original:
integral0^pi2 sin^2(3x) , dx = integral0^pi2 1 - cos(6x)2 , dx
Podemos fatorar o 12 integral0^pi2 (1 - cos(6x)) , dx para fora da integral:

Passo 4

Vamos agora integrar cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a 12 [ integral0^pi2 1 , dx - integral0^pi2 cos(6x) , dx ] = 12 [ x |0^pi2 - sin(6x)6 |0^pi2 ] é simplesmente , e a integral de em relação a é . Então temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores das integrais nos limites de integração:
Para x |0^pi2 = pi2 - 0 = pi2 :
sin(6x)6 |0^pi2 = sin(3pi)6 - sin(0)6 = 06 - 06 = 0
Para :

Passo 6

Substituindo esses valores de volta na expressão, temos:
12 ( pi2 - 0 ) = 12 cdot pi2 = pi4

Resposta

O valor da integral é .

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