Calcular as seguintes integrais:
integral0^1 x^3x^2+1 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo: calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de simplificação algébrica e substituição.

Passo 2

Vamos começar simplificando a fração x^3x^2+1 = x - xx^2+1 . Para isso, fazemos a divisão dos polinômios:
Isso nos permite quebrar a integral original em duas partes mais simples.

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral original como a diferença de duas integrais:
integral0^1 x^3x^2+1 , dx = integral0^1 x , dx - integral0^1 xx^2+1 , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral integral0^1 x , dx = [ 12x^2 ]0^1 = 12(1^2) - 12(0^2) = 12 . A antiderivada de é . Avaliando de 0 a 1:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 usando substituição. Vamos definir:
integral xx^2+1 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à variável original 12 ln(x^2+1) |0^1 = 12 ln(1^2+1) - 12 ln(0^2+1) = 12 ln 2 - 12 ln 1 e avaliando de 0 a 1:
12 ln 2
Como , simplificamos para:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
12 - 12 ln 2

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